Внутри TDBGrid "зашит" защищенный (protected) элемент управления типа TInPlaceEdit, потомок TCustomMaskEdit. Данный элемент управляется комбинацией клавиш [Shift]+[Ins] и [Shift]+[Del]. Но для нас не существует способа оперировать элементом, поскольку он является защищенным членом.

Да, но вы можете сделать это обманным путем. Попробуйте так:

procedure TForm1.Paste1Click(Sender: TObject);
begin
  SendMessage(GetFocus, WM_PASTE, 0, 0);
end;

procedure TForm1.Copy1Click(Sender: TObject);
begin
  SendMessage(GetFocus, WM_COPY, 0, 0);
end;

Эти методы привязаны к вашим пунктам меню. Они посылают сообщение окну с текущим фокусом. Если это элемент управления TInPlaceEdit, то мы добились того, чего хотели.